Phân thức
đại số

PHÉP CỘNG, PHÉP TRỪ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ.

A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM.
1. Phép cộng các phân thức đại số .
 Quy tắc cộng hai phân thức có cùng mẫu thức: Muốn cộng hai phân thức có
cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức.
;
 Quy tắc cộng hai phân thức không cùng mẫu thức: Muốn cộng hai phân thức có
mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi đưa về quy tắc cộng hai phân
thức có cùng mẫu thức.
 Giống như phép cộng phân số, phép cộng phân thức cũng có các tính chất sau :
giao hoán; kết hợp; cộng với số 0.
Chú ý: Nhờ tính chất kết hợp nên trong một dãy phép cộng nhiều phân thức, ta có
thể không cần đặt dấu ngoặc.
2. Phép trừ các phân thức đại số .
 Quy tắc trừ hai phân thức có cùng mẫu thức: Muốn trừ hai phân thức có cùng
mẫu thức, ta trừ tử của phân thức bị trừ và giữ nguyên mẫu :
;
 Quy tắc cộng hai phân thức không cùng mẫu thức: Muốn cộng hai phân thức có
mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi đưa về quy tắc trừ hai phân thức
có cùng mẫu thức.
 Phân thức đối của phân thức

kí hiệu là

 Phân thức đối của phân thức

là



hay

;

1

. Ta có :
.

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Cộng , trừ các phân thức đại số thông thường
Ví dụ 1. Thực hiện các phép tính sau:
a)

.

ĐS: .

b)

.

ĐS: .

Ví dụ 2. Thực hiện các phép tính sau:
a)

.

ĐS:

b)
c)

.

ĐS: .

.

ĐS:

d)
e)

.

.

.

ĐS:

.

.

ĐS: .

f)

.

ĐS:

.

Dạng 2: Cộng , trừ các phân thức đại số kết hợp quy tắc đổi dấu
 Áp dụng quy tắc đổi dấu để tìm mẫu thức chung:
.
 Thực hiện theo quy tắc cộng, trừ hai phân thức có cùng mẫu thức.
Ví dụ 3. Thực hiện các phép tính sau:
a)

.

ĐS:

2

.

b)

.

ĐS:

.

Ví dụ 4. Thực hiện các phép tính sau:
a)

.

ĐS:

b)

.

.

ĐS:

.

Dạng 3: Rút gọn phân thức và tính giá trị của biểu thức đó
 Bước 1: Áp dụng kiến thức đã học để rút gọn phân thức.
 Bước 2: Tính giá trị biểu thức sau khi đã rút gọn.
Ví dụ 5. Cho biểu thức:
a) Rút gọn biểu thức

với

;

;

b) Tính giá trị biểu thức

.
ĐS:

tại

.

.
ĐS:

.

Dạng 4: Toán có nội dung thực tế
 Bước 1: Thiết lập các biểu thức theo yêu cầu bài toán.
 Bước 2: Sử dụng kiến thức đã học để giải quyết bài toán.
Ví dụ 6. Một đội máy xúc nhận nhiệm vụ xúc
được

. Giai đoạn đầu, đội chỉ xúc

với năng suất trung bình của máy xúc là

năng suất làm việc của máy xúc tăng được

/ngày. Giai đoạn sau,

/ngày . Khi đó:

a) Hãy biểu diễn:
i) Thời gian xúc

ở giai đoạn đầu tiên;

ĐS:

ii) Thời gian làm nốt phần việc còn lại ở giai đoạn sau;
iii) Tổng thời gian hoàn thành công việc.

ĐS:
ĐS:

3

ngày
ngày
ngày.

b) Giả sử năng suất trung bình của máy xúc là
thành công việc là bao nhiêu ngày?

/ngày thì tổng thời gian hoàn
ĐS:
ngày.

Ví dụ 5. Công ty da giày Hải Phòng nhận sản xuất
đôi giày cho một đối tác
nước ngoài với thời hạn là ngày. Do cải tiến kĩ thuật, công ty không những hoàn
thành trước kế hoạch đề ra một ngày mà còn sản xuất thêm được
đôi giày.
a) Hãy biểu diễn qua :
i) Số lượng đôi giày công ty phải sản xuất trong một ngày theo kế hoạch. ĐS:
ii) Số lượng đôi giày thực tế công ty đã sản xuất được trong một ngày.
iii) Số lượng đôi giày làm thêm trong một ngày.
b) Tính số lượng đôi giày mà công ty làm thêm trong một ngày với

ĐS:

ĐS:

.
. ĐS:

.

C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Thực hiện các phép tính sau:
a)

.

ĐS: .

b)

.

c)

ĐS:
.

d)

ĐS:
.

ĐS:

.
.
.

Bài 2. Thực hiện các phép tính sau:
a)

.

ĐS:

b)

.

4

.
ĐS: .

Bài 3. Thực hiện các phép tính sau:
a)

.

b)

ĐS:
.

.

ĐS: .

Bài 4. Thực hiện các phép tính sau:
a)

.

b)

ĐS:
.

.

ĐS: .

Bài 5. Thực hiện các phép tính sau:
a)

.

b)

.

ĐS:

.

ĐS:

.

Bài 6. Thực hiện các phép tính sau:
a)

.

ĐS:

b)

.

ĐS:

Bài 7. Cho biểu thức:
a) Rút gọn biểu thức

. ĐS:

b) Tính giá trị của biểu thức

.
tại

. ĐS: .

5

.
.

Bài 8. Cho biểu thức:
a) Rút gọn biểu thức

với
;

b) Tính giá trị biểu thức

;

.
ĐS:

tại

.

.

ĐS: .

Bài 9. Thực hiện các phép tính sau:
a)

.

b)

.

c)

.

ĐS:
ĐS:

.
ĐS:

d)

.

ĐS:

Bài 10. Tìm phân thức
a)

.
.

thỏa mãn đẳng thức sau:
.

b)

.

ĐS:
.

.

ĐS:

.

Bài 11 Thực hiện các phép tính sau:
a)

.

b)
c)
d)

ĐS:
.

ĐS:

.

ĐS:
.

ĐS:

6

.
.
.
.

Bài

12.

Tìm

phân

thức

thỏa

mãn

đẳng

thức

sau:

.
ĐS:

.

Bài 13.
a) Chứng tỏ rằng hiệu của phân thức dưới đây có tử bằng :

. ĐS:

.

b) Tính nhanh biểu thức sau:

.
ĐS:

.

Bài 14. Đầu tháng năm
, toàn thế giới ghi nhận hàng chục ngàn máy tính bị
nhiễm một loại virus mới mang tên WannaCry. Theo ước tính, có
thiết bị điện
tử trở thành nạn nhân của cuộc tấn công mạng này. Trong thời gian đầu virus mới
được phát tán, trung bình một ngày ghi nhận thiết bị nhiễm virus và giai đoạn này
khiến
thiết bị bị thiệt hại. Sau đó tốc độ lan truyền gia tăng
thiết bị nhiễm
virus mỗi ngày.
a) Hãy biểu diễn:
i) Thời gian

thiết bị đầu tiên nhiễm virus;

ĐS:

ii) Thời gian số thiết bị còn lại bị lây nhiễm;
iii) Thời gian để
b) Tính thời gian để

thiết bị nêu trên bị nhiễm virus.
thiết bị nêu trên bị nhiễm virus với

7

ĐS:

.
.

ĐS:

.
.

ĐS:

.

Bài 15. Một tàu du lịch đi từ Hà Nội tới Việt Trì, sau đó nó nghỉ lại tại Việt Trì giờ
trước khi quay trở lại Hà Nội. Quãng đường từ Hà Nội tới Việt Trì là
km. Vận tốc
của dòng nước là km/h. Gọi vận tốc thực của tàu là km/h.
a) Hãy biểu diễn:
i) Thời gian tàu đi ngược dòng từ Hà Nội tới Việt Trì;

ĐS:

(giờ)

ii) Thời gian tàu đi xuôi dòng từ Việt Trì tới Hà Nội;

ĐS:

(giờ)

iii) Thời gian kể từ lúc tàu xuất phát đến khi tàu quay trở về Hà Nội.

ĐS:

(giờ).
b) Tính thời gian kể từ lúc xuất phát đến khi tàu về tới Hà Nội, biết rằng vận tốc lúc
ngược dòng của tàu là
km/h.
ĐS: giờ
phút.
Bài 16. Nếu mua lẻ thì giá một chiếc bút bi là đồng. Nhưng nếu mua từ
bút trở
lên thì giá mỗi chiếc rẻ hơn
đồng. Cô Dung dùng
đồng để mua bút cho
văn phòng. Hãy biểu diễn qua :
a) Tổng số bút mua được khi mua lẻ.

ĐS:

.

b) Tổng số bút mua được khi mua cùng một lúc, biết rằng giá tiền một bút không quá
đồng.
ĐS:
c) Số bút được lợi khi mua cùng một lúc so với khi mua lẻ.

.

ĐS:

Bài 17. Một công ty may mặc phải sản xuất
sản phẩm trong ngày. Khi thực
hiện không những đã làm xong sớm một ngày mà còn làm thêm được
sản phẩm.
a) Hãy biểu diễn qua :
i) Số sản phẩm phải sản xuất trong một ngày theo kế hoạch.

ĐS:

ii) Số lượng sản phẩm thực tế đã làm được trong một ngày.

ĐS:

8

iii) Số sản phẩm làm thêm trong một ngày.

ĐS:

b) Tính số sản phẩm làm thêm trong một ngày với

.

.
ĐS:

.

Bài 18. Tính nhanh biểu thức sau:
.

ĐS:

E. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1. Thực hiện phép tính sau:
a)

;

b)

.

Câu 2. Rút gọn biểu thức sau

Câu 3. Cho

thõa mãn

. Tính

Câu 4. Thực hiện phép tính sau
a)

;

b)

Câu 5. Rút gọn biểu thức

Câu 6. Cho

. Rút gọn biểu thức
9

.

.

;
.
Câu 7. Tìm

biết:

( là hằng số).

Câu 8. Chứng minh đẳng thức

Câu 9. Tính:
a)

;

b)

;

c)

.

Câu 10. Tính:
a)

;

b)

;

c)

.

Câu 11. Thực hiện các phép tính sau:
a)

;

b)

.

Câu 12. Thực hiện các phép tính sau
a)

;

b)

Câu 13. Rút gọn biểu thức:

.
.

Câu 14. Rút gọn biểu thức

10

Câu 15. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức

Câu 16. Tính giá trị của biểu thức

Câu 17. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến
.

Câu 18. Tìm

biết:

Câu 19. Tìm phân thức
Câu 20. Tính:

a)

Câu 21. Tính:

a)

; ( là hằng số).

biết:

.
;

b)
;

b)

Câu 22. Tính

.
.

.

Câu 23. Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào .

Câu 24. Thực hiện phép tính

.

Câu 25. Thu gọn biểu thức:

11

Câu 26.Viết phân thức
thức có tử thức là hằng số.

dưới dạng tổng một đa thức và một phân

Câu 27. Cho phân thức
phân thức là một số nguyên.

. Tìm giá trị nguyên của

Câu 28. Cho biểu thức
của .
Câu 29. Cho

với
. Rút gọn biểu thức

12

để giá trị của

. Tính giá trị